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Teoremas de De Morgan

Introdução

Quando lidamos com circuitos lógicos podemos nos deparar com situações em que as expressões lógicas, que definem o circuito, são extensas. Para facilitar o entendimento e a manipulação dessas expressões, existem alguns teoremas que ajudam a simplificá-las. Nesse artigo vamos conhecer os Teoremas de De Morgan.

Teoremas de De Morgan

Os dois teoremas mais importantes da álgebra booleana são fruto da contribuição do matemático De Morgan. 

Esses teoremas são úteis quando precisamos simplificar expressões que um produto ou uma soma de variáveis aparecem barrados (negados). Como pode ser visto abaixo.

Teoremas de De Morgan

1º Teorema de De Morgan

O primeiro teorema mostra que a soma lógica (conhecida como OR) de duas variáveis ao ser invertida (ou seja, negada) é equivalente a inverter cada variável individualmente e, em seguida, fazer a operação AND entre elas. 

Para comprovar essa equivalência, vamos visualizar a tabela verdade para o 1º teorema de De Morgan.

xyx +yxy
0011
0100
1000
1100
Tabela 1 – Tabela verdade do 1º teorema de DeMorgan.

Para entender como chegamos no resultado da tabela verdade, vamos realizar o passo a passo na primeira linha da tabela, ou seja, quando x=y=0.

Teoremas de De Morgan

Note que primeiro foi realizada a operação entre parênteses, operação OR, depois a inversão foi aplicada ao resultado. Na outra linha, primeiro foi realizada a operação de inversão e depois a operação AND. O resultado para as duas operações foi o mesmo e a mesma lógica foi aplicada em toda a tabela.

2º Teorema de De Morgan

O segundo teorema mostra que o produto lógico (conhecido como AND) de duas variáveis ao ser invertido é equivalente a inverter cada variável individualmente e, em seguida, fazer a operação OR entre elas. 

Para comprovar essa equivalência, vamos visualizar a tabela verdade para o 2º teorema de DeMorgan.

xyx ‧ yx + y
0011
0111
1011
1100
Tabela 2 – Tabela verdade do 2º teorema de DeMorgan.

De maneira análoga ao primeiro teorema, para entender como chegamos no resultado da tabela verdade, vamos realizar o passo a passo na primeira linha da tabela, ou seja, quando x=y=0.

Teoremas de De Morgan

Note que primeiro foi realizada a operação entre parênteses, operação AND, depois a inversão foi aplicada ao resultado. Na outra linha, primeiro foi realizada a operação de inversão e depois a operação OR. O resultado para as duas operações foi o mesmo e a mesma lógica foi aplicada em toda a tabela.

Apesar dos Teoremas de De Morgan terem sido apresentados em termos de duas variáveis, eles são igualmente válidos para situações em que há mais variáveis envolvidas.

Referências

TOCCI, R.; WIDMER, N.; MOSS, G. Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações. [S.l.]: Pearson Education Limited, 2011.

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