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Simplificação de expressões booleanas

Introdução

Podemos utilizar os teoremas da álgebra booleana, estudados anteriormente, para simplificar expressões de circuitos lógicos. Mas é preciso evidenciar que nem sempre é óbvio qual teorema deve ser aplicado para se obter o resultado mais simplificado. Também não é fácil dizer com certeza se uma expressão está na sua forma mais simples ou não. 

Então, é preciso dizer que simplificações algébricas são um processo de tentativa e erro. E que com experiência, podem-se obter resultados bons. 

Neste artigo, vamos ter diversos exemplos da aplicação dos teoremas estudados para simplificar expressões.

Exemplos de simplificação de expressões booleanas

A técnica utilizada para simplificar expressões conta com os seguintes passos: 

  • A expressão original é rearranjada na forma de soma de produtos:
    • Isso é feito para aplicar repetidamente os teoremas de DeMorgan e a multiplicação de termos. 
  • Como a expressão original está na forma de soma de produtos, é verificado se os termos do produto têm fatores comuns:
    • Pois isso permite realizar a fatoração. E através da fatoração podemos eliminar um ou mais termos.

Exemplo 1

Simplifique a expressão:

expressões booleanas

O primeiro passo para simplificar é usar os Teoremas de DeMorgan para, em seguida, multiplicar todos os termos e deixar todos em formato de soma de produtos.

expressões booleanas

O que foi realizado nessa primeira etapa:

1 – Aplicação do Teorema de DeMorgan:

2 – Como há duas negações em A + C elas são canceladas

3- Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação, conhecida como chuveirinho

4 – A ‧ A = A, isso porque:

  • se A for 0 → A ‧ A = 0
  • se A for 1→ A ‧ A = 1

Com a expressão na forma de soma de produtos, basta procurar por variáveis comuns entre os termos para realizar a fatoração. 

expressões booleanas

1- O primeiro e o terceiro termos possuem AC em comum, que pode fatorado

2 –

3 – Como temos A em comum nos dois termos vamos fatorar ele também

4 – Por fim, temos a versão mais simplificada da expressão z.

Exemplo 2

Simplifique a expressão:

expressões booleanas

Como a expressão já está na forma de soma de produtos, vamos fatorar.

Referências

TOCCI, R.; WIDMER, N.; MOSS, G. Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações. [S.l.]: Pearson Education Limited, 2011.

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