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Mapa de Karnaugh

Introdução

O mapa de Karnaugh é mais uma técnica criada para simplificar uma expressão lógica ou até mesmo converter uma tabela verdade em um circuito lógico, tudo isso de forma simples e metódica.

Neste artigo vamos aprender como aplicar o mapa de Karnaugh.

Mapa de Karnaugh

Primeiramente, é preciso esclarecer que um mapa de Karnaugh pode ser usado em problemas que envolvem qualquer número de variáveis de entrada. Mas sua praticidade, principalmente ao se resolver manualmente, está restrita a problemas com até quatro entradas, acima disso torna-se muito complicada a redução.

Organização do Mapa de Karnaugh

Com o mapa de Karnaugh, assim como uma tabela verdade, podemos visualizar a relação entre as entradas lógicas e a saída. Para entender, vamos visualizar o exemplo abaixo.

Figura 1 – Exemplo de um mapa de Karnaugh de 2 entradas.

No exemplo vemos que a tabela verdade nos fornece o valor da saída X para cada combinação de valores de entrada. No mapa de Karnaugh cada linha dessa tabela verdade corresponderá a um quadrado.

Assim, observe que A=0 e B=0 na tabela verdade é equivalente ao quadrado /A /B no mapa de Karnaugh (que está destacado em cinza). Como X=1 é colocado um 1 no quadrado /A /B no mapa de Karnaugh.

Do mesmo modo, a condição A = 1, B = 1 na tabela-verdade corresponde ao quadrado AB no mapa de Karnaugh. Como X=1 é colocado um 1 no quadrado AB no mapa de Karnaugh.

E todos os outros quadrados são preenchidos com 0. Essa mesma ideia é usada nos mapas de três ou quatro variáveis de entrada. 

Outro ponto importante é a distribuição das variáveis no mapa de Karnaugh. Ela ocorre de forma que as entradas mais significativas (MSB) ficam na vertical e menos significativas (LSB) na horizontal. Para isso vamos observar o exemplo da Figura 2, que conta com 3 variáveis.

Figura 2 – Exemplo de um mapa de Karnaugh de 3 entradas.

Observe que os dois mais significativos (A e B) ficaram na vertical e o menos significativo ficou na horizontal (C). Se houvesse quatro variáveis, teríamos na vertical AB e na horizontal CD, isso porque há uma regra que a diferença entre as linhas e colunas deve ser apenas uma variável.

Observe que a diferença entre a linha 1/coluna 1 e linha 1/coluna 2 é a entrada C, já a diferença entre a linha 1/coluna 1 e a linha 2/coluna 1 é a entrada B. Isso serve para todo o mapa de Karnaugh.

Por último, os valores que as entradas estão recebendo no mapa de Karnaugh seguem a ordem da tabela verdade com exceção da penúltima linha, ela é invertida com a última. Para entender observa a Figura 3.

Figura 3 – Destaque ao mapa de Karnaugh de 3 entradas.

Essa regra é válida a partir de 3 variáveis de entrada.

Agrupamento de quadros

Agora que entendemos como montar o mapa de Karnaugh, vamos para a simplificação propriamente dita.  A expressão para a saída X pode ser simplificada a partir da combinação adequada dos quadros do mapa de Karnaugh que contém 1. 

Esse processo de combinação dos 1s é chamado de agrupamento.

O agrupamento pode ser feito com 2, 4 ou 8 quadros. Ele pode ser feito na horizontal, vertical e nas extremidades. Para entender vamos ver alguns exemplos de agrupamento de pares (ou seja, 2 quadros).

Na Figura 4 temos o mapa de Karnaugh para situações em que há três variáveis de entrada. Na Figura 4a) temos um par de 1s adjacentes verticalmente:

  • O primeiro representa /A B /C e o segundo A B /C;
  • Note que nesses dois termos a variável A aparece na forma normal e invertida (negada), já B e C permanecem inalteradas. Então o agrupamento desses dois termos resultará na eliminação da variável A. Restando apenas B /C.

O mesmo ocorre no agrupamento horizontal da Figura 4b):

  • Temos /A B /C e /A B C;
  • Note que nesses dois termos a variável C aparece na forma normal e invertida (negada), já A e B permanecem inalteradas. Então o agrupamento desses dois termos resultará na eliminação da variável C. Restando apenas /A B.

Figura 4 – Exemplos de agrupamento com mapas de Karnaugh de 3 entradas.

Com relação ao agrupamento nas extremidades ele pode ocorrer somente entre os extremos opostos como visto na Figura 4c).

Observe que em todos os casos uma variável foi removida, isso está diretamente ligado ao tipo de agrupamento. Isso é destacado na Tabela 1.

Tabela 1 – Relação entre tipo de agrupamento e número de variáveis eliminadas.

Agrupar 2 quadrosAgrupar 4 quadrosAgrupar 8 quadros
Elimina-se uma variável que aparece nas formas normal e negada.Elimina-se duas variáveis que aparecem nas formas normal e negada.Elimina-se três variáveis que aparecem nas formas normal e negada.

Resumo da simplificação 

Passos que devem ser seguidos:

  1. Construa o mapa de Karnaugh e coloque os 1s nos quadros que correspondem aos 1s na tabela verdade. No demais quadros preencha com 0;
  2. Analise o mapa e agrupe os 1s adjacentes. Os que não possuírem par são os 1s isolados;
  3. Certifique-se de usar o menor número de agrupamentos. 
  4. Elimine as variáveis que podem ser eliminadas e forme a soma OR de todos os termos gerados por cada grupo.

Referências

TOCCI, R.; WIDMER, N.; MOSS, G. Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações. [S.l.]: Pearson Education Limited, 2011.

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