Analise Nodal

Uma vez que foram entendidas as leis fundamentais da teoria dos circuitos, lei de Ohm e leis de Kirchhoff, duas técnicas de análise de circuitos, baseadas nessas leis, poderão ser aplicadas: a análise nodal e a análise de malhas.

 A análise nodal, baseia-se em uma aplicação sistemática da lei de Kirchhoff para corrente (LKC), conhecida como lei dos nós.

    Neste artigo entenderemos como essa técnica funciona.

Análise nodal sem fontes de tensão

A análise nodal é uma estratégia para análise de circuitos usando tensões nodais como variáveis de circuitos. É conveniente optar por tensões nodais ao invés de tensões de elementos, em alguns circuitos, para diminuir o número de equações a serem resolvidas.

    Nessa primeira análise nodal vamos considerar circuitos que não possuem fontes de tensão, somente fontes de corrente.

    Para encontrar as tensões nos nós, em um circuito com n nós sem fontes de tensão, realiza-se o seguinte procedimento.

Procedimento para determinar as tensões nodais

  1. Selecione um nó como referência;
  2. Atribua tensões v1, v2, … , vn–1 aos n – 1 nós restantes. Todas as tensões são medidas em relação ao nó de referência;
  3. Aplique a LKC a cada um dos n – 1 nós que não são o de referência. Para expressar as correntes nos ramos, em termos de tensões nodais, use a lei de Ohm;
  4. Resolva as equações resultantes para obter as tensões nodais.

Aplicando cada uma das etapas, primeiramente é preciso definir o nó de referência. Normalmente, o nó de referência é chamado de terra (GND), isso porque se assume que ele tem potencial nulo. Há pelo menos dois símbolos utilizados para indicar o nó de referência, como pode-se observar na Figura 1, aqui será mais utilizado o segundo símbolo.

Analise Nodal
Figura 1 – Símbolos usados para indicar nó de referência ou terra.

    Na Figura 2 temos um circuito sem fonte de tensão que iremos resolver por meio da análise nodal. O nó de referência foi nomeado como 0, cuja tensão é considerada nula (v0=0), os demais nós foram nomeados como 1 e 2.

Analise Nodal
Figura 2 – Circuito para entender a análise nodal.

    Na segunda etapa atribuímos v1 e v2 ao seus respectivos nós. Lembrando que, as tensões são definidas em relação ao nó de referência e é por essa razão que, além do nó de referência, há apenas dois nós. 

    Na terceira etapa aplicamos a LKC a cada um dos nós – que não são de referência – do circuito. Assim temos a Figura 3, em que as tensões e correntes estão destacadas.

Analise Nodal
Figura 3 – Circuito avaliado.

    Ao aplicar LKC no nó 1 e 2, respectivamente, temos:

    Para expressar as correntes desconhecidas (i3, i4 e i5) em termos de tensões nodais, aplica-se a lei de Ohm. Como nos resistores a corrente flui de um potencial mais elevado para um mais baixo, podemos expressar isso como:

    Dessa forma temos que:

    Substituindo nas equações de LKC, temos:

Sabendo que a condutância é definida por:

    Podemos reescrever as equações como:

O último passo é o de encontrar as tensões nodais v1 e v2, através das duas equações obtidas anteriormente. O método para determiná-las pode ser o da substituição, da eliminação, a regra de Cramer ou a inversão de matrizes.

Exemplo de análise nodal sem fonte de tensão

Para fixar a análise nodal, sem fonte de tensão, resolveremos o exemplo da Figura 4 por todos os métodos citados.

Análise Nodal
Figura 4 – Esquema para entender a análise.

Aplicando a LKC e a lei de Ohm no nó 1, obtemos:

Para remover a fração multiplicamos a equação por 4.

    Realizando o mesmo procedimento no nó 2, obtemos:

    Multiplicando cada termo por 12, temos:

    Em posse das equações, mostradas abaixo, é possível determinar v1 e v2 por qualquer um dos métodos.

Análise Nodal
  • Método 1: eliminação

    Somando a primeira equação com a segunda obtemos v2:

Substituindo v2 na primeira equação, encontramos v1:

Análise Nodal
  • Método 2: substituição

Para encontrar v1, primeiramente utilizamos a primeira equação para isolar v2

A tensão v2 será utilizada na segunda equação, para obter v1, logo:

    Uma vez encontrado v1, basta substituir o seu valor na primeira equação e encontrar v2.

Análise Nodal
  • Método 3: regra de Cramer

Para usar a regra de Cramer, precisamos reescrever as equações na forma matricial e calcular seu determinante. Logo:

Análise Nodal

O determinante da matriz é dado por:

Análise Nodal

    Assim, obtemos v1 e v2 da seguinte forma:

Análise Nodal
Análise Nodal
  • Método 4: matriz inversa

    Sabendo que:

Análise Nodal

    Temos que:

Análise Nodal

    Ao realizar a multiplicação entre as duas matrizes obtemos os valores de v1 e v2.

Análise Nodal

Análise nodal com fontes de tensão

Agora, entenderemos como a análise nodal é afetada pelas fontes de tensão. Para isso existem 2 casos:

  • Caso 1:Se a fonte de tensão está conectada ao nó de referência e a outro nó qualquer, a tensão no nó – que não é de referência – é igual à tensão da fonte de tensão.
  • Caso 2:Se a fonte de tensão (seja dependente ou independente) estiver conectada entre dois nós que não são de referência, haverá a formação de um super nó. Então aplica-se tanto a LKC como a LKT para determinar as tensões nodais.

Na Figura 5, temos uma aplicação do caso 1, assim v1 = 10 V. E também temos uma aplicação do caso 2.

Análise Nodal
Figura 5 – Análise nodal com tensão: caso 1 e 2.

    Como os nós 2 e 3 há um super nó, então as 4 etapas da análise nodal serão aplicadas normalmente, mas o super nó é tratado de forma diferente. Isso porque eles possuem as seguintes propriedades:

Propriedades super nó

  • A fonte de tensão dentro do super nó fornece uma equação necessária para encontrar as tensões nodais; 
  • Um super nó não tem nenhuma tensão própria; 
  • Um super nó requer a aplicação tanto da LKC como da LKT.

    Assim, ao aplicar a LKC ao nó obtemos:

Análise Nodal
Análise Nodal

 Para aplicar a LKT no super nó, o circuito é redesenhado conforme mostrado na Figura 6. 

Análise Nodal
Figura 5 – LKT em super nó.

    Ao percorrer o laço no sentido horário, temos:

Análise Nodal

E em posse dessa e das demais equações encontradas pode-se determinar v1, v2 e v3.

Saiba Mais

Conheça as Leis de Kirchhoff

Teorema de Superposição em Amplificadores Operacionais

Primeiros passos com o LTSpice XVII

Referências

ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 2013.

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