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Álgebra Booleana

Quando falamos de lógica, há apenas dois modos possíveis para qualquer entrada ou saída: verdadeiro ou falso. Como no sistema binário de numeração utilizamos apenas dois dígitos  para representar valores, 1 e 0, ele é perfeito para também representar relações lógicas.

Mas, uma vez que estamos lidando com circuitos lógicos, é muito importante se ter um método que possa expressar as decisões lógicas tomadas por esses circuitos, afinal isso é descrever como eles operam.

Assim surgiu a álgebra Booleana que usa de símbolos para representar uma expressão lógica, onde esta pode possuir apenas um de dois valores possíveis: verdadeiro ou falso.

Álgebra Booleana

Primeiramente é preciso entender que a principal diferença entre a álgebra booleana da convencional é que, na booleana, as constantes e variáveis podem ter apenas dois valores possíveis, 0 ou 1. E esses valores não representam realmente números, mas o estado do nível de tensão de uma variável, o que chamamos de nível lógico.

Então, o estado de um circuito digital pode ser nível lógico 0 ou 1. Mas é preciso ressaltar que há vários outros termos usados como sinônimos para esses níveis lógicos, como pode ser visto na Tabela 1.

Nível lógico 0Nível lógico 1
FalsoVerdadeiro
DesligadoLigado
BaixoAlto
NãoSim
AbertoFechado
Tabela 1 – Modos comuns de se chamar os níveis lógicos.

Dessa forma, temos a álgebra booleana como um modo de expressar a relação entre as entradas e as saídas de um circuito lógico. 

Diferente da álgebra convencional, que conta com frações; decimais; números negativos; números imaginários; raízes quadradas; dentre outros, a álgebra booleana tem apenas três operações básicas: OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO).

Essas operações básicas são chamadas de operações lógicas

Operação OR (OU)

A operação OR é aquela que terá saída verdadeiro se pelo menos uma das duas condições for atendida. 

Para entender vamos imaginar a situação em que temos uma lâmpada dentro de um forno e ela deve ser acesa se o interruptor for acionado OU (OR) se a porta do forno for aberta. 

Ao fazer a combinação das duas entradas lógicas observamos que:

  • Se somente o interruptor for acionado a lâmpada é acesa;
  • Se somente a porta do forno for aberta a lâmpada é acesa;
  • Se o interruptor for acionado e a porta do forno for aberta a lâmpada é acesa;
  • Se nem o interruptor for acionado e nem a porta do forno for aberta a lâmpada não é acesa.

Para montar a expressão lógica, vamos usar a letra A para representar o interruptor acionado (verdadeiro ou falso) e a letra B representa a porta do forno aberta (verdadeiro ou falso). A letra L irá representar a lâmpada acesa (verdadeiro ou falso).

Assim nós faremos a combinação das duas entradas lógicas (A e B) e realizaremos a operação OR para produzir a saída L. Observe na Tabela 2 que a mesma lógica feita acima foi realizada em termos de níveis lógicos e que a operação OR é caracterizada por gerar verdadeiro na saída sempre que houver pelo menos um verdadeiro na entrada.

ABL = A OR B
000
101
011
111
Tabela 1 – Operação OR.

Outro ponto importante a se levantar é que a expressão booleana para essa operação OR é:

L = A + B

Nessa expressão, o sinal “+” não representa a adição convencional, na verdade ele representa a operação OR. Logo essa expressão é lida como “L é igual a A ou B”.

Operação AND (E)

A operação AND é aquela que somente terá como saída verdadeira se ambas as condições forem atendidas. 

Como exemplo do uso do lógico AND, vamos considerar que uma secadora de roupas só opera se um botão for acionado AND (E) se a porta estiver fechada. 

Ao fazer a combinação das duas entradas lógicas observamos que:

  • Se somente o botão for acionado a secadora não irá secar;
  • Se somente a porta estiver fechada a secadora não irá secar;
  • Se o botão for acionado e a porta estiver fechada a secadora irá secar;
  • Se nem o botão for acionado e a porta estiver fechada a secadora não irá secar.

Para montar a expressão lógica, usaremos a letra A para representar o botão acionado (verdadeiro ou falso) e a letra B representa a porta fechada (verdadeiro ou falso). A letra S irá representar a secadora em ação (verdadeiro ou falso).

Assim nós faremos a combinação das duas entradas lógicas (A e B) e realizaremos a operação AND para produzir a saída S. Observe na Tabela 3 que a mesma lógica feita acima foi realizada em termos de níveis lógicos e que a operação AND é caracterizada por gerar verdadeiro na saída sempre que houver verdadeiro em todas as entradas.

ABL = A AND B
000
100
010
111
Tabela 1 – Operação AND.

Outro ponto importante a se levantar é que a expressão booleana para essa operação AND é:

S = A ‧ B

Nessa expressão, o sinal “‧” não representa a multiplicação convencional, na verdade ele representa a operação AND. Logo essa expressão é lida como “S é igual a A e B”.

Operação NOT (NÃO)

A operação NOT é aquela que terá como saída o inverso da sua entrada. 

Diferente das operações OR e AND, essa operação é realizada sobre uma única entrada. Então, se a variável A invertida, o resultado x pode ser escrito como:

X = A

A barra sobre o nome da variável é a representação da operação de inversão. Assim, lemos essa expressão como “x é igual a A negado”, o “x é igual ao inverso de A” ou “x é igual a A barrado”. 

Todas as expressões indicam que o valor lógico de x é o oposto do valor lógico de A. Logo:

  • Se A for verdadeiro, x é falso;
  • Se A for falso, x é verdadeiro.

Resumo das operações lógicas

Operação OR 
Operação ANDOperação NOT
A operação OR gera uma saída 1 sempre que qualquer uma das entradas for 1. Caso contrário, sua saída é 0.A operação AND terá como saída 1 somente quando todas as entradas forem 1. Caso contrário, sua saída será 0A operação NOT irá gerar uma saída com valor lógico inverso ao de sua entrada.
A expressão x = A + B é lida “x é igual a A ou B”A expressão x = AB é lida como “x é igual a A e B”A expressão x = Aé lida como “x é igual a A barrado”

Referências

TOCCI, R.; WIDMER, N.; MOSS, G. Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações. [S.l.]: Pearson Education Limited, 2011.

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