Tutorial de Verilog – Ponto Fixo e Ponto Flutuante em Verilog – Parte I

Prezado leitor, no presente tópico iremos discutir como podemos representar números reais, de ponto fixo e ponto flutuante, em binário e listar alguns métodos utilizados pelo projetista moderno para trabalhar com essas representações. O assunto é extenso e de suma importância, por isso convido o leitor a explorar mais o assunto em livros como [1] e a própria especificação do padrão Verilog IEEE 754-1985.

Sendo assim seguem algumas considerações interessantes:

• Números podem ser representados em decimal, hexadecimal, octal e em formato binário;
• Devemos sempre considerar que números negativos são representados internamente na forma de complemento de dois;
• O caractere “?” é utilizado em um número como alternativa para alta-impedância;
• O caractere “_” (underscore) pode ser utilizado como separador e qualquer em posição do número, exceto na primeira, o qual é ignorado. 

Representação de números inteiros

Em um primeiro momento devemos considerar que números inteiros em Verilog seguem o seguinte formato:

<sinal><tamanho – conforme a base> ‘ valor

Com o sinal podemos representar números negativos pelo prefixo “–” (menos) e pela ausência de qualquer prefixo número positivos. Vale ratificar que Verilog representa internamente números negativos no formato de complemento de dois. Ex.: -14’h1234; // número negativo com sinal    

O tamanho será sempre definido como um número decimal e define a quantidade em bits. Caso não tenha sido definido, será considerado 32 bits ou conforme as configurações do sistema. As bases utilizadas em Verilog são as seguintes:

• ‘b ou ‘B – binário. Ex.: 2’b11; // número 3 decimal representado com dois bit
• ‘h ou ‘H – hexadecimal. Ex.: 8’hAF; // número 175 decimal representado em hexadecimal com 8 bits
• ‘d ou ‘D – decimal, esta base é considerada default em Verilog. Ex.: 3; // número 3 decimal – será armazenado com 32 bits
• ‘o ou ‘O – octal. Ex.: 10’o222; // número 146 decimal representado em octal com 10 bits 

O valor consiste nos dígitos entre: 0-9, A-F, a-f, x ou X e z ou Z. Sendo x ou X correspondente a valores desconhecidos e z ou Z a valores em alta-impedância. Exemplos:

• 3’bz; // corresponde a 3 bits em Z;
• 8’bx; // corresponde a 8 bits em X.

Representação de números reais 

Algumas considerações:

• Verilog suporta constantes reais e variáveis;
• Converte número real em inteiro por arredondamento;
• Números reais não podem assumir valores com “Z” e “X”;
• Números reais quando atribuídos a variáveis inteiras arredondam para o inteiro mais próximo do seu valor.

Segundo [2], como manipulamos número decimais a toda hora, podemos estender o mesmo conceito à parte fracionária. Vamos tomar como exemplo o número “923.501” da página 526 do mesmo livro. Os dígitos “923.501” podem ser representados da seguinte forma:

9*10² + 2*10¹+3*10⁰+5*10^-1+0*10^-2+1*10^-3

Com esse exemplo conseguimos observar que a representação de números reais segue o seguinte formato:

<valor a esquerda>.<valor a direita>

Nesse sentido os valor a esquerda recebe o tratamento convencional em binário, entretanto o valor a direita recebem valores binários negativos. O exemplo a seguir ilustra essa afirmação, tomemos o valor 2,8125, ele é igual a: 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4

A tabela 1 ilustra melhor a sequência de potências em binário.

Tabela 1 – Potências de dois
Potência  Valor 22 4 21 2 20 1 2-1 0,5 2-2 0,25 2-3 0,125 2-4 0,0625 2-5 0,03125	Potência	Valor	22	4	21	2	20	1	2-1	0,5	2-2	0,25	2-3	0,125	2-4	0,0625	2-5	0,03125
Potência	Valor
22	4
21	2
20	1
2-1	0,5
2-2	0,25
2-3	0,125
2-4	0,0625
2-5	0,03125

A aritmética de ponto fixo

A soma e a subtração de ponto fixo não difere da soma e da subtração quando fixamos a vírgula em uma dada posição. Um bom exemplo é dado por [2], se quisermos somar 9,125 com 3,9375 basta somarmos como se os dois números fossem inteiros. Em binário a soma seria da seguinte forma (figura 1):

Em Verilog são declarados das seguintes formas valores inteiros e reais:

// Exemplo de declaração de tipos inteiros e reais
// Rodrigo Pereira - 03/05/2015

module int_pfix;

integer valor_inteiro_sinal;
integer unsigned valor_inteiro_ssinal;
real valor_real_a;
real valor_real_b;

initial begin
 valor_inteiro_sinal = -14'1234;
 $display ("Valor Inteiro com sinal - %h", valor_inteiro_sinal);
 valor_inteiro_ssinal = 14'1234;
 $display ("Valor Inteiro sem sinal - %h", valor_inteiro_ssinal);
 valor_real_a = 9.125;
 $display ("Valor Real A - %h", valor_real_a);
 valor_real_b = 3.9375;
 $display ("Valor Real B - %h", valor_real_b);
 $display ("Valor Real A + B - %h", valor_real_a + valor_real_b);
 
end
endmodule

Representação em ponto flutuante

O padrão 754 – 1985 da IEEE é o padrão da indústria que regulamenta a representação de números com ponto flutuante. O assunto é vasto e diversas são as abordagens utilizadas na manipulação desses valores (soma/subtração/divisão/multiplicação). Sugiro ao leitor uma leitura cuidadosa quando for executar qualquer operação com esses valores.

Algumas considerações

Primeiramente , a combinação da mantissa (ou significando) multiplicado pela base na potência de 10 representa um número com ponto flutuante (figura 2). Dessa forma, um número está escrito em notação científica se a parte inteira da mantissa estiver normalizada, ou seja, se a parte inteira for maior que zero e menor que a base.

O padrão adotado pela IEEE para representar um número de 32 bits (também chamada de representação de PRECISÃO SIMPLES) é descrito na figura 3 abaixo.

Na figura 1 podemos observar que o bit 31 representa o sinal do número, seguido de mais 8 bits para o expoente da base (número inteiro) e por fim 23 bits que são reservados para a mantissa.

As operações em pontos flutuantes possuem diversos algoritmos e estudos, cada um delineado para uma aplicação específica. Em [1] na página 163 existem algoritmos e exemplos de diagramas que podem ser utilizados como um início para uma implementação. Convido novamente o leitor a uma leitura mais aprofundada do assunto. Na segunda parte deste artigo iremos tratar algumas implementações utilizando Verilog e ponto flutuante.

Referências

[1] Organização e Projeto de Computadores – 4 ª Ed. 2014. Hennessy, John L.; Patterson, David A.

[2] Sistemas Digitais – Projeto, Otimização e Hdls. Vahid, Frank.