Uma vez que foram entendidas as leis fundamentais da teoria dos circuitos, lei de Ohm e leis de Kirchhoff, duas técnicas de análise de circuitos, baseadas nessas leis, poderão ser aplicadas: a análise nodal e a análise de malhas.
A análise nodal, baseia-se em uma aplicação sistemática da lei de Kirchhoff para corrente (LKC), conhecida como lei dos nós.
Neste artigo entenderemos como essa técnica funciona.
Análise nodal sem fontes de tensão
A análise nodal é uma estratégia para análise de circuitos usando tensões nodais como variáveis de circuitos. É conveniente optar por tensões nodais ao invés de tensões de elementos, em alguns circuitos, para diminuir o número de equações a serem resolvidas.
Nessa primeira análise nodal vamos considerar circuitos que não possuem fontes de tensão, somente fontes de corrente.
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Para encontrar as tensões nos nós, em um circuito com n nós sem fontes de tensão, realiza-se o seguinte procedimento.
Procedimento para determinar as tensões nodais
- Selecione um nó como referência;
- Atribua tensões v1, v2, … , vn–1 aos n – 1 nós restantes. Todas as tensões são medidas em relação ao nó de referência;
- Aplique a LKC a cada um dos n – 1 nós que não são o de referência. Para expressar as correntes nos ramos, em termos de tensões nodais, use a lei de Ohm;
- Resolva as equações resultantes para obter as tensões nodais.
Aplicando cada uma das etapas, primeiramente é preciso definir o nó de referência. Normalmente, o nó de referência é chamado de terra (GND), isso porque se assume que ele tem potencial nulo. Há pelo menos dois símbolos utilizados para indicar o nó de referência, como pode-se observar na Figura 1, aqui será mais utilizado o segundo símbolo.
Na Figura 2 temos um circuito sem fonte de tensão que iremos resolver por meio da análise nodal. O nó de referência foi nomeado como 0, cuja tensão é considerada nula (v0=0), os demais nós foram nomeados como 1 e 2.
Na segunda etapa atribuímos v1 e v2 ao seus respectivos nós. Lembrando que, as tensões são definidas em relação ao nó de referência e é por essa razão que, além do nó de referência, há apenas dois nós.
Na terceira etapa aplicamos a LKC a cada um dos nós – que não são de referência – do circuito. Assim temos a Figura 3, em que as tensões e correntes estão destacadas.
Ao aplicar LKC no nó 1 e 2, respectivamente, temos:
Para expressar as correntes desconhecidas (i3, i4 e i5) em termos de tensões nodais, aplica-se a lei de Ohm. Como nos resistores a corrente flui de um potencial mais elevado para um mais baixo, podemos expressar isso como:
Dessa forma temos que:
Substituindo nas equações de LKC, temos:
Sabendo que a condutância é definida por:
Podemos reescrever as equações como:
O último passo é o de encontrar as tensões nodais v1 e v2, através das duas equações obtidas anteriormente. O método para determiná-las pode ser o da substituição, da eliminação, a regra de Cramer ou a inversão de matrizes.
Exemplo de análise nodal sem fonte de tensão
Para fixar a análise nodal, sem fonte de tensão, resolveremos o exemplo da Figura 4 por todos os métodos citados.
Aplicando a LKC e a lei de Ohm no nó 1, obtemos:
Para remover a fração multiplicamos a equação por 4.
Realizando o mesmo procedimento no nó 2, obtemos:
Multiplicando cada termo por 12, temos:
Em posse das equações, mostradas abaixo, é possível determinar v1 e v2 por qualquer um dos métodos.
- Método 1: eliminação
Somando a primeira equação com a segunda obtemos v2:
Substituindo v2 na primeira equação, encontramos v1:
- Método 2: substituição
Para encontrar v1, primeiramente utilizamos a primeira equação para isolar v2.
A tensão v2 será utilizada na segunda equação, para obter v1, logo:
Uma vez encontrado v1, basta substituir o seu valor na primeira equação e encontrar v2.
- Método 3: regra de Cramer
Para usar a regra de Cramer, precisamos reescrever as equações na forma matricial e calcular seu determinante. Logo:
O determinante da matriz é dado por:
Assim, obtemos v1 e v2 da seguinte forma:
- Método 4: matriz inversa
Sabendo que:
Temos que:
Ao realizar a multiplicação entre as duas matrizes obtemos os valores de v1 e v2.
Análise nodal com fontes de tensão
Agora, entenderemos como a análise nodal é afetada pelas fontes de tensão. Para isso existem 2 casos:
- Caso 1:Se a fonte de tensão está conectada ao nó de referência e a outro nó qualquer, a tensão no nó – que não é de referência – é igual à tensão da fonte de tensão.
- Caso 2:Se a fonte de tensão (seja dependente ou independente) estiver conectada entre dois nós que não são de referência, haverá a formação de um super nó. Então aplica-se tanto a LKC como a LKT para determinar as tensões nodais.
Na Figura 5, temos uma aplicação do caso 1, assim v1 = 10 V. E também temos uma aplicação do caso 2.
Como os nós 2 e 3 há um super nó, então as 4 etapas da análise nodal serão aplicadas normalmente, mas o super nó é tratado de forma diferente. Isso porque eles possuem as seguintes propriedades:
Propriedades super nó
- A fonte de tensão dentro do super nó fornece uma equação necessária para encontrar as tensões nodais;
- Um super nó não tem nenhuma tensão própria;
- Um super nó requer a aplicação tanto da LKC como da LKT.
Assim, ao aplicar a LKC ao nó obtemos:
Para aplicar a LKT no super nó, o circuito é redesenhado conforme mostrado na Figura 6.
Ao percorrer o laço no sentido horário, temos:
E em posse dessa e das demais equações encontradas pode-se determinar v1, v2 e v3.
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Referências
ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 2013.
Não sei se entendi bem ali, mas não era para ser V3-0 / 6 ?