Análise de Malhas

A análise de malhas é outra alternativa para estudar um circuito, dessa vez utilizando as correntes da malha como variáveis. Essa estratégia facilita os cálculos, uma vez que usar as correntes dos elementos como variáveis geraria muitas equações.

    Diferente da análise nodal, a análise de malhas se baseia em uma aplicação da lei de Kirchhoff para tensão (LKT), neste artigo vamos entender como essa técnica é realizada.

Diferença entre laço e malha

É importante saber que:

• Um laço é um caminho fechado formado por componentes, mas que não passa mais de uma vez pelo mesmo nó;
• A malha é um laço particular que não possui componentes no seu interior.

    Para entender a diferença observe a Figura 1. O caminho ABEF é uma malha, isso porque o caminho nomeado I₁ não possui nenhum componente no seu interior. Da mesma forma ocorre no caminho BCED. Já o caminho ABCDEF é um laço, isso porque no seu interior há os componentes que formam o circuito.

Análise de malhas sem fontes de corrente

Nessa primeira análise de malhas vamos considerar circuitos que não possuem fontes de corrente, somente fontes de tensão. Para encontrar as correntes das malhas, em um circuito com n malhas sem fontes de corrente, realiza-se o seguinte procedimento.

Procedimento para determinar as correntes das malhas

1. Atribuir correntes I₁, I₂, …, I_n as n malhas;
2. Aplicar a LKT a cada uma das n malhas. Para expressar as tensões em termos de correntes de malha use a lei de Ohm;
3. Resolva as equações resultantes para obter as correntes de malha.

    Para aplicar cada uma das etapas, considere a Figura 1. Foram identificadas duas malhas, então temos as correntes I₁ e I₂. Convencionalmente adotamos o sentido horário para percorrer a malha, mas pode-se adotar o anti-horário que o resultado será o mesmo. Outra convenção adotada é que a corrente percorre do sentido positivo para o negativo.

    Assim, na segunda etapa aplicamos a LKT a cada malha. Ao aplicar a LKT à malha 1, obtemos:

Observe que apesar de ter sido percorrida somente a malha 1, I₂ também apareceu na equação. Isso aconteceu devido a R₃ ser um elemento comum às duas malhas. Por causa disso i₁ é a soma das resistências na primeira malha, já o coeficiente de i₂ é o negativo da resistência comum às duas malhas (R₃).

Ao aplicar a LKT à malha 2, obtemos:

    Em posse das equações, a última etapa é determinar as correntes de malha. 

Como na análise nodal é possível resolver essas equações pelos métodos da substituição, da eliminação, a regra de Cramer ou a inversão de matrizes.

Exemplo de análise de malhas sem fonte de corrente

Para fixar a análise de malhas, sem fonte de correntes, iremos resolver o exemplo da Figura 2 por todos os métodos citados.

Aplicando a LKT na malha 1, adotando que a corrente percorre do sentido positivo para o negativo, obtemos:

Ou seja,

    Realizando o mesmo procedimento na malha 2, obtemos:

    Ou seja,

    Em posse das equações, mostradas abaixo, é possível determinar I₁ e I₂ por qualquer um dos métodos.

• Método 1: eliminação

    Somando a primeira equação com a segunda obtemos I₁:

Substituindo I₁ na primeira equação, encontramos I₂:

• Método 2: substituição

Para encontrar I₂, primeiramente utilizamos a segunda equação para isolar I₁. 

A corrente I₁ será utilizada na primeira equação, para obter I₂, logo:

    Uma vez encontrado I₂, basta substituir o seu valor na segunda equação e encontrar I₁.

• Método 3: regra de Cramer

Para usar a regra de Cramer, precisamos reescrever as equações na forma matricial e calcular seu determinante. Logo:

O determinante da matriz é dado por:

    Assim, obtemos I₁ e I₂ da seguinte forma:

• Método 4: matriz inversa

    Sabendo que:

    Temos que:

    Ao realizar a multiplicação entre as duas matrizes obtemos os valores de I₁ e I₂.

Análise de malhas com fontes de corrente

Agora, vamos entender como a análise de malhas é afetada pelas fontes de corrente. Para isso existem 2 casos:

• Caso 1:Quando há uma fonte de corrente em apenas uma malha. Isso facilita os cálculos, pois o valor da corrente da malha será igual ao da fonte de corrente.
• Caso 2:Quando uma fonte de corrente existe entre duas malhas, gerando uma supermalha.

Referência

ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 2013.