Transformação Y-Delta (Estrela-Triângulo)

29/06/2022

ÍNDICE DE CONTEÚDO

Este post faz parte da série Eletricidade básica

É comum se deparar com montagens de circuitos em que os resistores não estão nem em paralelo, nem em série. Nesse cenário, é mais conveniente converter o circuito em uma outra montagem para determinar os valores das tensões e das correntes sem usar a lei de Kirchhoff das tensões ou das correntes.

Assim, há duas configurações que geralmente são responsáveis por esse tipo de dificuldade: são as redes ípsilon (Y), Figura 1a, e delta (Δ), Figura 1b.

Neste artigo entenderemos como realizar a conversão Y-Delta e Delta-Y.

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Desenvolvimento das equações de conversão Y-Delta ou Delta-Y (Estrela-Triângulo)

Para desenvolver as equações de conversão Y-Delta ou Delta-Y é preciso usar superposição mostrada na Figura 2.

Com a sobreposição de uma rede Y sobre a rede Δ é possível determinar uma expressão para R₁, R₂ e R₃ em função de R_a, R_b e R_c, ou vice-versa. Isso porque, para que dois circuitos sejam equivalentes, a resistência total entre dois terminais quaisquer precisa ter o mesmo valor.

Então, o valor da resistência entre dois terminais da configuração Y deve ser igual a resistência da configuração Δ equivalente, o contrário também é válido.

É preciso enfatizar que: somente uma das configurações podem ser usadas por vez, em posse da configuração Y acho a configuração Δ e vice-versa.

Transformação Delta-Y (Triângulo-Estrela)

Em um dado problema, suponha que seja mais conveniente trabalhar com uma rede Δ (R_a, R_b e R_c) ao invés da Y (R₁, R₂ e R₃). Então precisamos encontrar uma expressão para R₁, R₂ e R₃ em função de R_a, R_b e R_c.

Assim, temos que a resistência entre os terminais a-c (Figura 2) deve ser igual para Y e Δ, logo:

Para entender os valores encontrados observe a Figura 3. A resistência R_a,c em Y é o resistor equivalente da associação em série de R₁ e R₃, R₂ não é incluído pois não possui conexão com nenhum dos dois terminais (por isso está em vermelho).

Em Δ, a resistência R_a,c é o resistor equivalente da associação em série de R_a e R_c, em paralelo com R_b. Para facilitar a visualização da série e paralelo o circuito foi desenhado, Figura 4, observe que R_c e R_a estão sob a mesma corrente por isso estão em série, mas o seu equivalente está em paralelo a R_b.

Utilizando a mesma abordagem para a-b e b-c, são obtidas as seguintes expressões:

Para encontrar a expressão que descreve o valor de cada um dos resistores na configuração Y, é preciso manipular as equações encontradas. Assim, ao subtrair R_ac de R_ab encontramos:

Subtraindo a nova expressão encontrada de R_bc encontramos:

Assim, encontramos que R₃ é igual a:

Realizando a mesma manipulação algébrica para R₁ e R₂, temos:

Após encontrar as expressões da conversão Δ-Y é possível perceber que:

Cada resistor de Y é igual ao produto dos resistores nos dois ramos mais próximos do Δ dividido pela soma dos três resistores de Δ.

Transformação Y-Delta (Estrela-Triângulo)

Utilizando as expressões da conversão Δ-Y é possível deduzir as expressões da conversão Y-Δ. Então, para encontrar uma expressão para R_a, R_b e R_c em função de R₁, R₂ e R₃, começamos dividindo a R₃ por R₁:

Analogamente, dividimos R₃ por R₂ e obtemos:

Para encontrar R_c substituímos o R_a e R_b encontrados na equação de R₂:

Com ela é possível encontrar o R_c e através dele encontrar o R_ae R_b:

Após encontrar as expressões da conversão Y-Δ é possível perceber que:

O valor de cada resistor do Δ é igual à soma das combinações dos produtos das resistências do Y dividida pela resistência do Y mais distante do resistor a ser determinado.