Fasores

Quando analisamos circuitos de corrente contínua foi necessário, dentre outras coisas, realizar operações algébricas com as tensões ou correntes. Como as excitações eram constantes, bastava somar V₁ com V₂, por exemplo. Agora imagine, em corrente contínua, somar duas tensões senoidais. Seria necessário somar os valores das funções ponto a ponto, o que seria um processo longo e tedioso.

Em razão disso, é mais conveniente converter a senoide em outro tipo de expressão para facilitar os cálculos. Normalmente, se faz isso ao expressar seno e cosseno em termos de fasores.

Neste artigo vamos entender o que são e como aplicar os fasores.

Representação em Fasores 

Os fasores são uma maneira mais simples de se analisar circuitos lineares excitados por fontes senoidais (circuitos CA). Eles podem ser definidos como:

O fasor é um número complexo, na forma polar, que representa a amplitude e a fase de uma senóide.

Esse tipo de representação parte da identidade de Euler que define:

Assim, cos(Φ) é a parte real e sen(Φ) é a parte imaginária. Dessa forma, para obter o fasor correspondente a uma senoide, primeiramente é preciso expressar a senoide na forma de cosseno (para que ela seja parte real do número complexo que vem da identidade de Euler). Ao eliminar o fator de tempo e^jωt, a senoide que estava no domínio do tempo passa a ser do domínio de fasores.

Já para senoides escritas em termos de seno, o fasor correspondente é:

A representação gráfica dos fasores é chamada de diagrama fasorial. Na Figura 1, temos a representação de dois fasores: V_m∠Φ e I_m∠-θ.

É importante frisar que embora o fator de frequência (ou de tempo) e^jωt seja omitido e a frequência não seja mostrada na representação no domínio dos fasores, essa resposta depende de ω. Por conta disso, o domínio dos fasores também é chamado de domínio da frequência.

Outro importante entendimento a respeito de fasores é como as operações com as senoides são representadas no domínio da frequência.

Começando com a derivada, derivar v(t) equivale a multiplicar seu fasor por jω.

 Já a integral, no domínio dos fasores e equivale a dividir seu fasor correspondente por jω.

Além da diferenciação e integração do tempo, outra importante operação que pode ser realizada entre fasores é na adição de senoides. Mas é importante ressaltar que essa adição só pode ser realizada se eles tiverem a mesma frequência.

Para fixar o que foi discutido neste tópico, vamos enfatizar as principais diferenças entre v(t) e V.

• v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, já V é a representação em termos de frequência ou no domínio dos fasores;
• v(t) depende do tempo, V não depende;
• v(t) é sempre real (não possui parte imaginária), enquanto V normalmente é complexo;
• A análise de fasores se aplica apenas quando a frequência é constante;
• Só podemos manipular dois ou mais sinais senoidais se eles estiverem na mesma frequência.

Exemplos

    Para aplicar a representação em fasores vamos fazer duas conversões:

    Começando com o exemplo i, faremos a conversão explicitando o fator do tempo para desconsiderá-lo ao converter:

    No caso de v, será feita a seguinte consideração:

    Logo:

Fasores e Elementos de Circuitos

Entendido que podemos representar tensão e corrente no domínio da frequência, também é válido indicar que esse conceito também é aplicável aos elementos passivos R, L e C dos circuitos. Nesse caso, precisamos, para cada um dos elementos, converter a relação tensão-corrente do domínio de tempo para o domínio de frequência. 

Iniciando pelos resistores, se a corrente que atravessa um resistor R for:

     Pela lei de Ohm, a sua tensão será:

    Em termos de fasores teremos:

    Considerando que I=I_m∠Φ, temos que a  a lei de Ohm continua sendo válida para o resistor no domínio dos fasores.

    Para o indutor L, suponha que a corrente através dele seja:

     A tensão no indutor é dada por:

    Utilizando a identidade trigonométrica –sen A = cos(A + 90°), reescrevemos a tensão como:

Ou seja, a tensão em termos de fasores é:

    Com I=I_m∠Φ e e^j90° = j, temos:

    Por fim, para o capacitor C, suponha que a tensão nele seja:

Considerando que a corrente através do capacitor seja:

Teremos que a corrente e tensão serão:

Em resumo, para cada elemento no domínio do tempo e da frequência, temos:

Elemento	Domínio do Tempo	Domínio da frequência
R	v = Ri	V=RI
L	v = L‧di/dt	V=jωLI
C	i = C‧dv/dt	V=I/jωC

Referências

ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 2013.

Imagem de destaque: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fasor#/media/Ficheiro:Wykres_wektorowy_by_Zureks.svg