Circuito RL

05/08/2022

ÍNDICE DE CONTEÚDO

Este post faz parte da série Eletricidade básica

Análogo aos circuitos formados por resistores e capacitores (RC), os circuitos RL também são de primeira ordem, ou seja, são descritos por equações diferenciais de primeira ordem.

Neste artigo vamos analisar o comportamento e determinar as equações de saída de um circuito RL sem fonte e com uma entrada degrau.

Circuitos RL sem fonte

Um circuito RL sem fonte ocorre da mesma forma que um circuito RC sem fonte. A diferença é que o objeto da análise do RL é a corrente i(t) por meio do indutor. A escolha da resposta foi pensada no fato da corrente do indutor não poder mudar instantaneamente.

Para entender o funcionamento desse circuito, vamos considerar o circuito mostrado na Figura 1.

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circuito RL — Figura 1 – Circuito RL sem fonte.

Assim, assumimos que t = 0 o indutor tenha uma corrente inicial I_o, ou seja:

E a energia armazenado no instante 0 é dada por:

Ao aplicar LKT no laço, temos que a tensão é:

Por definição, temos:

Logo:

Rearranjando os termos e integrando para determinar i(t), temos:

O resultado final encontrado é que a resposta em corrente do circuito RC é uma queda exponencial da corrente inicial. Pela equação também é possível inferir que a constante de tempo T (em segundos) é dada por:

Logo, a resposta pode ser reescrita como:

Graficamente fica mais fácil visualizar esse comportamento. Observe na Figura 2, que quanto menor a constante de tempo T de um circuito, mais rapidamente a resposta decai. Ao aumentar a constante de tempo, a taxa de decaimento da resposta fica mais lenta. Além disso, após 5T ela atinge seu regime estacionário.

Com a equação da corrente, podemos determinar a tensão no resistor:

Já a potência dissipada no resistor é dada por:

Enquanto que a energia absorvida pelo resistor é:

É possível notar que t tende a infinito w_r tende a 1/2LI₀². Isso é o igual a w_L(0) (energia armazenada inicialmente no indutor). Isso significa dizer que toda a energia que estava armazenada inicialmente no indutor é dissipada no resistor.

Em resumo, para se trabalhar com um circuito RL sem fonte é necessário determinar:

A corrente inicial i(0) = I_o no indutor
A constante de tempo τ do circuito.

Exemplo RL sem fonte

Para entender como trabalhar com circuitos RL, faremos um exemplo. Considerando o circuito da Figura 3, com i(0) = 10 A, para calcular i(t) e i_x(t) no circuito.

Assumindo duas malhas, vamos aplicar LKT na malha 1 (M₁) e depois na malha 2 (M₂).

O resultado encontrado:

Substituindo a equação de M₁ em M₂:

Como i₁ = i, podemos realizar a substituição e integrar:

Reescrevendo em termo de exponencial e isolando i(t), encontramos:

Assim, a tensão no indutor será:

Como o indutor e o resistor de 2 Ω estão em paralelo, temos que i_x(t) será:

Resposta a um degrau de um circuito RC

Agora vamos entender o comportamento do circuito quando submetido a fonte de tensão ou de corrente modelada como uma função degrau. A resposta para esse tipo de entrada é conhecida como resposta a um degrau.

Para entender esse comportamento, vamos considerar o circuito RL da Figura 5.

Figura 5 – Circuito RL com entrada de degrau de tensão.

A resposta pode ser a soma da resposta transiente e a resposta em regime estacionário, já mencionadas no artigo sobre circuito RC, logo:

onde:

A resposta transiente (i_t) e sempre é uma exponencial em queda. Lembrando que A é a constante a ser determinada. Já a resposta em regime estacionário (i_ss) é o valor da corrente depois que um tempo se passou desde que a chave foi fechada.

Como no circuito RC, a resposta transiente basicamente zera após cinco constantes de tempo. Quando isso ocorre, o indutor torna-se um curto-circuito e a tensão nele é zero. Por essa razão i_ss é escrito com toda a tensão de entrada V_s sobre R.

Para determinar a constante A do valor inicial da corrente. Consideramos que I₀ é a corrente inicial pelo indutor, (proveniente de uma fonte que não seja V_s).